13、数据结构和算法 - 实战：排序算法

1.1 排序算法

所谓排序，就是使一串记录，按照其中的某个或某些关键字的大小，递增或递减的排列起来的操作。排序算法，就是如何使得记录按照要求排列的方法。

1.2 排序算法分类

内部排序：指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。

外部排序法：数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行排序。

1.3 常见的排序算法分类

1.4 算法的时间与空间复杂度

主要还是从算法所占用的「时间」和「空间」两个维度去考量。

时间频率

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为时间频度。记为T(n)。

时间复杂度

在时间频度中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律。为此，我们引入时间复杂度概念。 一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n)),称O(f(n)) 为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

T(n) 不同，但时间复杂度可能相同。 如：T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

计算时间复杂度的方法

用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n² 去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

1.5 常见的时间复杂度

常见的时间复杂度

常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜ Ο(nk) ＜Ο(2n) ，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低
从图中可见，我们应该尽可能避免使用指数阶的算法。

常数阶O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1).

int i = 1
int j = 2;

i = i + j - i;
j = i + j - j;    

对数阶O(log2n)

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。

int i =1;
while(i < n){
 
   
    i = i * 2;
}

线性阶O(n)

for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

for(int i = 1; i <= number; i++){
 
   
    j = i * 2;
}

线性对数阶O(nlogN)

将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

for(int i = 1; i <= number; i++){
 
   
    while(i < number){
 
   
        i = i * 2;
    }
}

平方阶O(n²)

如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)

for (i=1;i<n;i++){
 
   
    for (j=0;j<=n;j++){
 
   
        j = i;
        j++;
    }
}

立方阶O(n³)、K次方阶O(n^k)

O(n³)相当于三层n循环。K次方阶相当于k层n循环。

1.6 平均时间复杂度和最坏时间复杂度

平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致