17、数据结构与算法 - 实战:树的知识、二叉树、二叉树的遍历(前序、中序、后序、层次)、二叉树的查找(前序、中序、后序、层次)、二叉树的删除

一、树的介绍

1.1 为什么需要树这种数据结构

1.1.1 数组存储方式的分析

优点:通过下标方式访问元素,速度快。对于有序数组,还可使用二分查找提高检索速度。检索、修改速度快。
缺点:如果要检索具体某个值,或者插入值(按一定顺序)会整体移动,效率较低 [示意图]
画出操作示意图
 

1.1.2 链式存储方式的分析

优点:在一定程度上对数组存储方式有优化(比如:插入一个数值节点,只需要将插入节点,链接到链表中即可, 删除效率也很好)。删除、添加快。

缺点:在进行检索时,效率仍然较低,比如(检索某个值,需要从头节点开始遍历)
画出操作示意图
 

1.1.3 树存储方式的分析

能提高数据存储,读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree),既可以保证数据的检索速度,同时也可以保证数据的插入,删除,修改的速度。【示意图,后面详细讲】
案例:[7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]
 

1.2 基本介绍

这个的介绍是从百度上拿来的,定义比较简单。

树状图是一种数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

特点
每个结点有零个或多个子结点;没有父结点的结点称为根结点;每一个非根结点有且只有一个父结点;除了根结点外,每个子结点可以分为多个不相交的子树

1.3 树的常用语

1、 树示意图
  2、 树的常用术语(结合示意图理解):;
1、 节点;
2、 根节点;
3、 父节点;
4、 子节点;
5、 叶子节点(没有子节点的节点);
6、 节点的权(节点值);
7、 路径(从root节点找到该节点的路线);
8、 层;
9、 子树;
10、 树的高度(最大层数);
11、 森林:多颗子树构成森林;

二、二叉树定义

1、 树有很多种,每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为**二叉树
2、 二叉树的子节点分为
左节点和右节点
3、 示意图;
  4、 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层,并且结点总数=2^n-1,n为层数,则我们称为
满二叉树
  5、 如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层,而且最后一层的叶子节点在左边连续,倒数第二层的叶子节点在右边连续,我们称为
完全二叉树**;
 

三、二叉树的操作

3.1 二叉树遍历说明

二叉树的遍历,分为 前序遍历、中序遍历、层次遍历。

1、 前序遍历:先输出父节点,再遍历左子树和右子树;
2、 中序遍历:先遍历左子树,再输出父节点,再遍历右子树;
3、 后序遍历:先遍历左子树,再遍历右子树,最后输出父节点;
4、 层次遍历:先输出根结点,然后分层次的进行遍历;
小结: 看输出父节点的顺序,就确定是前序,中序还是后序

3.2 实例

和以往一样,对水浒传英雄进行构建二叉树。

创建8个节点,分别为1 2 3 4 5 6 7 8 。

开始是7个节点,然后后来测试添加,便在6节点左子树挂载 8 结点。
我绘制一下8个节点的二叉树
 
我们手动遍历一把,然后在与下面代码的输出进行对比。
前序遍历:1 2 4 5 3 6 8 7
中序遍历:4 2 5 1 8 6 3 7
后序遍历:4 5 2 8 6 7 3 1
层次遍历:1 2 3 4 5 6 7 8

事实证明,与下面代码输出一致。

3.3 二叉树遍历

思路分析:
 
图中文字:
分析二叉树的前序、中序、后序的遍历步骤

1、 创建一颗二叉树;
2、 前序遍历
2、 1先输出当前节点(初始的时候是root节点);
2、 2如果左子节点不为空,则递归继续前序遍历;
2、 3如果右子节点不为空,则递归继续前序遍历;
3、 中序遍历
3、 1如果当前节点的右子节点不为空,则递归中序遍历,;
3、 2输出当前节点;
3、 3如果当前节点的右子节点不为空,则递归中序遍历;
4、 后序遍历
4、 1如果当前节点的左子节点不为空,则递归后序遍历,;
4、 2如果当前节点的右子节点不为空,则递归后序遍历;
4、 3输出当前节点;

3.3.1 HeroNode.java 结点

这个类为 节点类。对英雄构建成结点实体类。

在这里面编写 前序、中序、后序遍历的底层方法。注释比较清晰。

package com.feng.ch12_tree.t1_binarytree;

/*
 * 创建 HeroNode 结点
 *
 * 1、数据域 包含 编号 和 姓名
 * 2、指针域包括 左子结点 和 右子结点
 * */
public class HeroNode {
   
     
    private int no;
    private String name;
    private HeroNode left;
    private HeroNode right;

    public HeroNode(int no, String name) {
   
     
        this.no = no;
        this.name = name;
    }

    @Override
    public String toString() {
   
     
        return "HeroNode{" +
                "no=" + no +
                ", name='" + name + '\'' +
                '}';
    }

    public int getNo() {
   
     
        return no;
    }

    public void setNo(int no) {
   
     
        this.no = no;
    }

    public String getName() {
   
     
        return name;
    }

    public void setName(String name) {
   
     
        this.name = name;
    }

    public HeroNode getLeft() {
   
     
        return left;
    }

    public void setLeft(HeroNode left) {
   
     
        this.left = left;
    }

    public HeroNode getRight() {
   
     
        return right;
    }

    public void setRight(HeroNode right) {
   
     
        this.right = right;
    }

    // 编写前序遍历的方法
    public void preOrder() {
   
     
        System.out.println(this);// 先输出父结点
        // 递归向左子树前序遍历
        if (this.left != null) {
   
     
            this.left.preOrder();
        }
        // 递归向右子树前序遍历
        if (this.right != null) {
   
     
            this.right.preOrder();
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
   
     
        // 递归向左子树中序遍历
        if (this.left != null) {
   
     
            this.left.infixOrder();
        }
        // 输出父结点
        System.out.println(this);
        // 递归向右子树中序遍历
        if (this.right != null) {
   
     
            this.right.infixOrder();
        }
    }

    // 后序遍历
    public void postOrder() {
   
     
        // 递归向遍历
        if (this.left != null) {
   
     
            this.left.postOrder();
        }
        // 递归向右子树中序遍历
        if (this.right != null) {
   
     
            this.right.postOrder();
        }
        // 输出父结点
        System.out.println(this);
    }
}

3.3.2 BinaryTree.java 二叉树

创建的二叉树,在这里 调用 HeroNode 结点类的 方法,实现二叉树的各种操作,前序、中序、后序的操作。

package com.feng.ch12_tree.t1_binarytree;

import java.util.LinkedList;

/*
 * 定义BinaryTree 二叉树
 * */
class BinaryTree {
   
     
    private HeroNode root;

    public void setRoot(HeroNode root) {
   
     
        this.root = root;
    }

    // 前序遍历
    public void preOrder() {
   
     
        if (this.root != null) {
   
     
            this.root.preOrder();
        } else {
   
     
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    // 中序遍历
    public void infixOrder() {
   
     
        if (this.root != null) {
   
     
            this.root.infixOrder();
        } else {
   
     
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    // 后序遍历
    public void postOrder() {
   
     
        if (this.root != null) {
   
     
            this.root.postOrder();
        } else {
   
     
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }

    /*
     * 层次遍历
     * */
    public void middleOrder() {
   
     
        if (this.root != null) {
   
     
            LinkedList<HeroNode> queue = new LinkedList();
            queue.add(root);
            HeroNode current = null;

            while (!queue.isEmpty()) {
   
     
                current = queue.poll();//出队队头元素并访问
                System.out.println(current);
                if (current.getLeft() != null) {
   
     //如果当前节点的左节点不为空入队
                    queue.offer(current.getLeft());
                }
                if (current.getRight() != null) {
   
     //如果当前节点的右节点不为空,把右节点入队
                    queue.offer(current.getRight());
                }
            }
        } else {
   
     
            System.out.println("二叉树为空,无法遍历");
        }
    }
}

3.3.3 T1_BinaryTreeMain.java 测试类

测试类,对前序中序后序,进行测试。打印输出,
构建二叉树时,是手动添加。这里主要测试二叉树的前序、中序、后序的遍历

public class T1_BinaryTreeMain {
   
     

    public static void main(String[] args) {
   
     
        // 先需要创建一颗二叉树
        BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
        // 创建需要的节点

        HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
        HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
        HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
        HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
        HeroNode node5 = new HeroNode(5, "武松");
        HeroNode node6 = new HeroNode(6, "武大郎");
        HeroNode node7 = new HeroNode(7, "李逵");

        /*
         * 说明,我们先手动创建该二叉树,后面我们学习递归的方式创建二叉树
         * */
        binaryTree.setRoot(root);
        root.setLeft(node2);
        root.setRight(node3);
        node2.setLeft(node4);
        node2.setRight(node5);
        node3.setLeft(node6);
        node3.setRight(node7);

        /*
         * 测试 二叉树 的遍历
         * */
        System.out.println("前序遍历:"); // 输出 1 2 4 5 3 6 7
        binaryTree.preOrder();
        System.out.println();

        System.out.println("中序遍历:"); // 输出 4 2 5 1 6 3 7
        binaryTree.infixOrder();
        System.out.println();

        System.out.println("后序遍历:"); // 输出 4 5 2 6 7 3 1
        binaryTree.postOrder();
        System.out.println();

        System.out.println("层次遍历:"); // 输出 1 2 3 4 5 6 7
        binaryTree.middleOrder();
        System.out.println();

        /*
         * 新添加一个节点
         * */
        HeroNode node8 = new HeroNode(8, "关胜");
        node6.setLeft(node8);

        /*
         * 测试 新增加结点 后的遍历
         * */
        System.out.println("添加新节点后的 前序遍历:"); // 输出  1 2 3 5 4
        binaryTree.preOrder();
        System.out.println();

        System.out.println("添加新节点后的 中序遍历:"); // 输出 2 1 5 3 4
        binaryTree.infixOrder();
        System.out.println();

        System.out.println("添加新节点后的 后序遍历:"); // 输出 2 5 4 3 1
        binaryTree.postOrder();
        System.out.println();

        System.out.println("添加新节点后的 层次遍历:"); // 输出 2 5 4 3 1
        binaryTree.middleOrder();
        System.out.println();

     }
}

3.3.4 测试结果

这里截图的为测试中添加节点后的遍历:
 
 

3.4 二叉树的查找

  • 要求

1、 请编写前序查找,中序查找和后序查找的方法;
2、 并分别使用三种查找方式,查找heroNO=5的节点;
3、 并分析各种查找方式,分别比较了多少次;

  • 二叉树的查找也分为前序查找、中序查找、后序查找。
    层次查找直接在二叉树类 BinaryTree.java 中编写。
  • 思路分析图解
     
    图中文字如下:
    使用前序,中序,后序的方式来查询指定的结点

前序查找思路

1、 先判断当前节点的no是否等于要查找的no;
2、 如果是相等,则返回当前结点;
3、 如果不等,则判断当前结点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归前序查找;
4、 如果左递归前序查找,找到节点,则返回,否则继续判断当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则继续向右递归前序查找;

中序查找思路

1、 判断当前节点的左子结点是否为空,如果不为空,则递归中序查找;
2、 如果找到,则返回,如果没有找到,就和当前结点比较,如果是则返回当前结点,否则继续进行右递归中序查找;
3、 如果右递归中序查找,找到就返回,否则返回null;

后序查找思路

1、 判断当前节点的左子结点是否为空,如果不为空,则递归后序查找;
2、 如果找到,则返回,如果没有找到,就判断当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则有递归进行后续查找,如果找到,就返回;
3、 如果左右节点都没有找到,就和当前节点进行比较,如果是则返回,否则返回null;

3.4.1 HeroNode.java 节点类

在这里进行编写底层查找的方法。
包括前序查找、中序查找、后序查找

    /*
     *前序遍历查找
     * @param no 查找 no
     * @return 如果找到就返回该 Node,如果没有找到就返回 null
     * */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
   
     
        System.out.println("进入前序遍历查找~~");
        // 比较当前节点是不是
        if (this.no == no) {
   
     
            return this;
        }
        /*
         * 1、则判断当前结点的左子节点是否为空,如果不为空,则递归前序查找
         * 2、如果左递归前序查找,找到节点,则返回
         * */
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
   
     
            resNode = this.left.preOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
   
     
            return resNode;
        }
        // 1、左递归前序查找,找到节点,则返回,否则继续判断
        // 2、当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则继续向右递归前序查找。
        if (this.right != null) {
   
     
            resNode = this.right.preOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    /*
     * 中序遍历查找
     * */
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
   
     
        //1、判断当前节点的左子结点是否为空,如果不为空,则递归中序查找
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
   
     
            resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
   
     
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入中序遍历查找~~");
        // 2、如果找到,则返回,如果没有找到,就和当前结点比较,如果是则返回当前结点,
        if (this.no == no) {
   
     
            return this;
        }

        // 3、否则继续进行右递归中序查找
        if (this.right != null) {
   
     
            resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
        }
        return resNode;
    }

    /*
     * 后序遍历查找
     * */
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
   
     
        //1、判断当前节点的左子结点是否为空,如果不为空,则递归后序查找,如果找到,则返回,
        HeroNode resNode = null;
        if (this.left != null) {
   
     
            resNode = this.left.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
   
     
            return resNode;
        }

        // 2、如果没有找到,就判断当前节点的右子节点是否为空,如果不为空,则有递归进行后续查找,如果找到,就返回
        if (this.right != null) {
   
     
            resNode = this.right.postOrderSearch(no);
        }
        if (resNode != null) {
   
     
            return resNode;
        }
        System.out.println("进入后序遍历查找");
        // 3、如果左右节点都没有找到,就和当前节点进行比较,如果是则返回,否则返回 null
        if (this.no == no) {
   
     
            return this;
        }
        return resNode;
    }

3.4.2 BinaryTree.java 二叉树

这里是二叉树类,对 结点类中进行包装。

    /*
     * 前序遍历查找
     * */
    public HeroNode preOrderSearch(int no) {
   
     
        if (root != null) {
   
     
            return root.preOrderSearch(no);
        } else {
   
     
            return null;
        }
    }

    /*
     * 中序遍历查找
     * */
    public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
   
     
        if (root != null) {
   
     
            return root.infixOrderSearch(no);
        } else {
   
     
            return null;
        }
    }

    /*
     * 后序遍历查找
     * */
    public HeroNode postOrderSearch(int no) {
   
     
        if (root != null) {
   
     
            return root.postOrderSearch(no);
        } else {
   
     
            return null;
        }
    }

    /*
     * 层次遍历查找
     * */
    public HeroNode middleOrderSearch(int no) {
   
     
        if (root != null) {
   
     
            LinkedList<HeroNode> queue = new LinkedList();
            queue.add(root);
            HeroNode current = null;
            HeroNode result = null;

            while (!queue.isEmpty()) {
   
     
                current = queue.poll();//出队队头元素并访问
                if (no == current.getNo()){
   
     
                    result = current;
                    break;
                }
                if (current.getLeft() != null) {
   
     //如果当前节点的左节点不为空入队
                    queue.offer(current.getLeft());
                }
                if (current.getRight() != null) {
   
     //如果当前节点的右节点不为空,把右节点入队
                    queue.offer(current.getRight());
                }
            }
            return result;
        } else {
   
     
            return null;
        }
    }

3.4.3 T1_BinaryTreeMain.java 测试类

在上面的测试类,后面写

/*
  * 测试二叉树的 查找
  * */
 //  递归4次
 System.out.println("二叉树的 前序遍历查找");
 HeroNode heroNode = binaryTree.preOrderSearch(5);
 if (null == heroNode) {
   
     
     System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
 } else {
   
     
     System.out.printf("找到了, 信息为 no= %d name=%s \n", heroNode.getNo(), heroNode.getName());
 }
 System.out.println();

 // 递归 3次
 System.out.println("二叉树的 中序遍历查找");
 HeroNode heroNode1 = binaryTree.infixOrderSearch(5);
 if (null == heroNode1) {
   
     
     System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
 } else {
   
     
     System.out.printf("找到了, 信息为 no= %d name=%s \n", heroNode1.getNo(), heroNode1.getName());
 }
 System.out.println();

 // 递归 2次
 System.out.println("二叉树的 后序遍历查找");
 HeroNode heroNode2 = binaryTree.postOrderSearch(5);
 if (null == heroNode2) {
   
     
     System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄\n", 5);
 } else {
   
     
     System.out.printf("找到了, 信息为 no= %d name=%s \n", heroNode2.getNo(), heroNode2.getName());
 }
 System.out.println();

 System.out.println("二叉树的 层次遍历查找");
 HeroNode heroNode3 = binaryTree.middleOrderSearch(4);
 if (null == heroNode3) {
   
     
     System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄\n", 5);
 } else {
   
     
     System.out.printf("找到了, 信息为 no= %d name=%s \n", heroNode3.getNo(), heroNode3.getName());
 }
 System.out.println();

3.4.4 测试结果

 

3.5 二叉树的删除

  • 要求

1、 如果删除的节点是叶子节点,则删除该节点;
2、 如果删除的节点是非叶子节点,则删除该子树.;
3、 测试,删除掉5号叶子节点和3号子树.;

  • 完成删除思路分析:
     
    图中文字:
    完成删除结点的操作
    规定:
    1、 如果删除的结点是叶子节点,则删除该节点;
    2、 如果删除的结点是非叶子节点,则删除该子树;
    思路:
    首先先处理:考虑如果树是空树root,如果只有一个root结点,则等价将二叉树置空。
    然后进行下面步骤
    1、 因为我们的二叉树是单向的,所以**我们是判断当前节点的子节点是否需要删除节点,而不能取判断当前这个结点是不是需要删除结点**;
    2、 如果当前节点的左子结点不为空,并且左子结点就是要删除结点,就将this.left=null即可;并且就返回(结束递归删除);
    3、 如果当前结点的右子节点不为空,并且左子结点就是要删除结点,就将this.right=null即可;并且就返回(结束递归删除);
    4、 如果第2步和第3步没有删除结点,那么我们就需要向左子树进行递归删除;
    5、 如果第4步也没有删除结点,则应当向右子树进行递归删除;

3.4.1 HeroNode.java 节点类

删除结点时,需要考虑两种情况。
第一种:如果删除的结点是叶子节点,则删除该叶子节点
第二种:如果删除的结点是非叶子节点,则删除该子树

/*
 * 递归删除结点
 * 1、如果删除的结点是叶子节点,则删除该叶子节点
 * 2、如果删除的结点是非叶子节点,则删除该子树
 * 首先先处理:考虑如果树是空树root,如果只有一个root结点,则等价将二叉树置空。 这一部分放在上一层处理
 * */
public void deleteNode(int no) {
   
     
    // 第二第三步 为递归的 结束条件
    /*
     * 1、因为我们的二叉树是单向的,所以我们是判断当前节点的子节点是否需要删除节点,而不能取判断当前这个结点是不是需要删除结点。
     * 2、如果当前节点的左子结点不为空,并且左子结点 就是要删除结点,就将this.left = null 即可;并且就返回(结束递归删除)
     * 3、如果当前结点的右子节点不为空,并且左子结点就是要删除结点,就将 this.right = null 即可;并且就返回(结束递归删除)
     * 4、如果第2步和第3步没有删除结点,那么我们就需要向左子树进行递归删除
     * 5、如果第4步也没有删除结点,则应当向右子树进行递归删除。
     * */
    // 2、如果当前节点的左子结点不为空,并且左子结点 就是要删除结点,就将this.left = null 即可;并且就返回(结束递归删除)
    if (this.left != null && this.left.no == no) {
   
     
        this.left = null;
        return;
    }

    //3、如果当前结点的右子节点不为空,并且左子结点就是要删除结点,就将 this.right = null 即可;并且就返回(结束递归删除)
    if (this.right != null && this.right.no == no) {
   
     
        this.right = null;
        return;
    }
    // 4、如果第2步和第3步没有删除结点,那么我们就需要向左子树进行递归删除
    if (this.left != null) {
   
     
        this.left.deleteNode(no);
    }
    //5、如果第4步也没有删除结点,则应当向右子树进行递归删除。
    if (this.right != null) {
   
     
        this.right.deleteNode(no);
    }
}

3.5.2 BinaryTree.java 二叉树

/*
 * 递归删除结点
 * */
public void deleteNode(int no) {
   
     
    if (root != null) {
   
     
        //  如果只有一个节点,这里立即判断root 是不是就是要删除结点
        if (root.getNo() == no) {
   
     
            root = null;
        } else {
   
     
            root.deleteNode(no);
        }
    } else {
   
     
        System.out.println("空树,不能删除~~");
    }
}

3.5.3 T1_BinaryTreeMain.java 测试类

/*
 * 测试删除结点
 * */
System.out.println("删除前,前序遍历");
binaryTree.preOrder(); // 1 2 3 5 4
//binaryTree.deleteNode(5);
binaryTree.deleteNode(3);
System.out.println("删除后,前序遍历");
binaryTree.preOrder(); // 1 2 3 4 // 1 2

3.5.4 测试结果