前言
一、为什么要有图
1、 前面我们学了线性表和树；
2、 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系；
3、 树也只能有一个直接前驱也就是父节点；
4、 当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图；
二、图的举例说明
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：
三、图的常用概念
1、 顶点(vertex)；
2、 边(edge)；
3、 路径；
4、 无向图(右图)；
5、 有向图；
6、 带权图；
四、图的表示方式
图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。
4.1 邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1…n个点。
4.2 邻接表
邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.
邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
五、图的快速入门案例
1、 要求:代码实现如下图结构.；
2、 思路分析(1)存储顶点String使用ArrayList(2)保存矩阵int[][]edges；
3、 代码实现；
核心代码，汇总在后面
// 插入 结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
* @param v1 表示点的下标 即第几个定点 “A”-“B” "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示关联 ， 0或者1
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight; // 反向也可以
numOfEdges++;
}
六、图的深度优先遍历介绍
6.1 图遍历介绍
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历
6.2 深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search) 。
1、 深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点；
2、 我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问；
3、 显然，深度优先搜索是一个递归的过程；
6.3 深度优先遍历算法步骤
1、 访问初始结点v，并标记结点v为已访问；
2、 查找结点v的第一个邻接结点w；
3、 若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续；
4、 若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）；
5、 查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3；
看一个具体案例分析:
6.4 核心代码
// 深度优先遍历算法
// i 第一次就是 0
public void dfs(boolean isVisited[], int i) {
// 首先我们访问该结点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
// 查找结点 i 的第一个邻接结点 w (w就是下标) （i, w） 就是直接关系，前提 w 不为 -1
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
// 说明 有邻接结点
if (!isVisited[w]) {
// 为 true时，说明未被访问。
dfs(isVisited, w); // 递归
}
// 如果 w 结点被访问， 则根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
// 对 dfs 进行一个重载，遍历所有结点，并进行 dfs
public void depthFirstSearch() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有结点，进行dfs（回溯）
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
// getNumOfVertex() 结点个数
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
七、图的广度优先遍历
7.1 广度优先遍历基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search) 。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点
7.2广度优先遍历算法步骤
1、 访问初始结点v并标记结点v为已访问；
2、 结点v入队列；
3、 当队列非空时，继续执行，否则算法结束；
4、 出队列，取得队头结点u；
5、 查找结点u的第一个邻接结点w；
6、 若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：；
6、 1若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问；
6、 2结点w入队列；
6、 3查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6；
广度优先举例说明
7.3 核心代码
/*
* 广度 优先遍历的方法， 没用递归
* */
// 对一个节点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u; // 表示队列的头结点对应下标
int w; // 邻接结点 w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {
//找到
//是否访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点(起始点)，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先 // 以 u 为一行的 下一个 w 的结点
}
}
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void broadFirstSearch() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
八、图的代码汇总
8.1 Graph图类
package com.feng.ch17_graph;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
public class Graph {
private ArrayList<String> vertexList; // 储存定点集合
private int[][] edges; // 存储图对应的邻接矩阵
private int numOfEdges;// 表示边的数目
//定义给数组boolean[], 记录某个结点是否被访问
private boolean[] isVisited;
// 构造器
public Graph(int n) {
// 初始化矩阵和 vertexList
this.vertexList = new ArrayList<String>(n);
this.edges = new int[n][n];
this.numOfEdges = 0;
}
/*
* 深度 优先遍历的方法
* */
// 得到 第一个邻接结点 的下标 w
/**
* @param index 传入的下标的行
* @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回 -1
*/
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int j = 0; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[index][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int j = v2 + 1; j < vertexList.size(); j++) {
if (edges[v1][j] > 0) {
return j;
}
}
return -1;
}
// 深度优先遍历算法
// i 第一次就是 0
public void dfs(boolean isVisited[], int i) {
// 首先我们访问该结点，输出
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
// 将结点设置为已经访问
isVisited[i] = true;
// 查找结点 i 的第一个邻接结点 w (w就是下标) （i, w） 就是直接关系，前提 w 不为 -1
int w = getFirstNeighbor(i);
while (w != -1) {
// 说明 有邻接结点
if (!isVisited[w]) {
// 为 true时，说明未被访问。
dfs(isVisited, w); // 递归
}
// 如果 w 结点被访问， 则根据前一个邻接结点的下标 来 获取下一个邻接结点
w = getNextNeighbor(i, w);
}
}
// 对 dfs 进行一个重载，遍历所有结点，并进行 dfs
public void depthFirstSearch() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
// 遍历所有结点，进行dfs（回溯）
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
// getNumOfVertex() 结点个数
if (!isVisited[i]) {
dfs(isVisited, i);
}
}
}
/*
* 广度 优先遍历的方法， 没用递归
* */
// 对一个节点进行广度优先遍历的方法
private void bfs(boolean[] isVisited, int i) {
int u; // 表示队列的头结点对应下标
int w; // 邻接结点 w
//队列，记录结点访问的顺序
LinkedList queue = new LinkedList();
//访问结点，输出结点信息
System.out.print(getValueByIndex(i) + "=>");
//标记为已访问
isVisited[i] = true;
//将结点加入队列
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
//取出队列的头结点下标
u = (Integer) queue.removeFirst();
//得到第一个邻接结点的下标 w
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {
//找到
//是否访问过
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "=>");
//标记已经访问
isVisited[w] = true;
//入队
queue.addLast(w);
}
//以u为前驱点(起始点)，找w后面的下一个邻结点
w = getNextNeighbor(u, w); //体现出我们的广度优先 // 以 u 为一行的 下一个 w 的结点
}
}
}
//遍历所有的结点，都进行广度优先搜索
public void broadFirstSearch() {
isVisited = new boolean[vertexList.size()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
bfs(isVisited, i);
}
}
}
/*
* 图中常用方法
* */
// 返回结点的个数
public int getNumOfVertex() {
return vertexList.size();
}
// 得到的边数目
// getNumOfEdges() 方法
// 返回结点 i （下标） 对应的数据 0->"A" 1->"B" 2->"C"
public String getValueByIndex(int i) {
return vertexList.get(i);
}
// 返回v1 和 v2 的权值
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
// 显示图对应的矩阵
public void show() {
for (int[] link : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
// 插入 结点
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
// 添加边
/**
* @param v1 表示点的下标 即第几个定点 “A”-“B” "A"->0 "B"->1
* @param v2 第二个顶点对应的下标
* @param weight 表示关联 ， 0或者1
*/
public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight; // 反向也可以
numOfEdges++;
}
public ArrayList<String> getVertexList() {
return vertexList;
}
public void setVertexList(ArrayList<String> vertexList) {
this.vertexList = vertexList;
}
public int[][] getEdges() {
return edges;
}
public void setEdges(int[][] edges) {
this.edges = edges;
}
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
public void setNumOfEdges(int numOfEdges) {
this.numOfEdges = numOfEdges;
}
}
8.2 GraphMain测试类
package com.feng.ch17_graph;
public class GraphMain {
public static void main(String[] args) {
// 测试 图是否创建
int n = 8; // 结点个数
// String vertexs[] = {"A","B","C","D","E"};
String vertexs[] = {
"1", "2", "3", "4", "5", "6", "7", "8"};
Graph graph = new Graph(n);
// 循环添加节点
for (String vertex : vertexs){
graph.insertVertex(vertex);
}
// 添加边
// ab ac bc bd be
// graph.insertEdge(0, 1, 1); // ab
// graph.insertEdge(0, 2, 1);
// graph.insertEdge(1, 2, 1);
// graph.insertEdge(1, 3, 1);
// graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
// 显示邻接矩阵
graph.show();
System.out.println();
// 深度遍历
System.out.println("深度优先遍历");
graph.depthFirstSearch(); // A->B->C->D->E-> 1->2->4->8->5->3->6->7->
System.out.println();
System.out.println();
// 广度遍历
System.out.println("广度优先遍历");
graph.broadFirstSearch(); // A=>B=>C=>D=>E=> 1=>2=>3=>4=>5=>6=>7=>8=>
}
}
8.3 测试结果
