一、顺序储存二叉树
1.1 概念
从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，
看下面的示意图。
1.2 特点
- 顺序二叉树通常只考虑 完全二叉树:
1、 第n个元素的左子节点为2*n+1；
2、 第n个元素的右子节点为2*n+2；
3、 第n个元素的父节点为**(n-1)/2**；
- n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号如图所示,同时对应的也是数组的顺序)
复习一下完全二叉树：如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为 完全二叉树。
1.3 关系
树的存储方式可以与数组的方式可以互换，我看出来的一个规律，二叉树的层次遍历就是数组的储存方式。
如果要将二叉树转为数组存储，既可以层次遍历然后储存到数组中即可。
1.4 案例
1、 上图的二叉树的结点，要求以数组的方式来存放array:[1,2,3,4,5,6,7]；
2、 要求在遍历数组array时，仍然可以以**前序遍历，中序遍历和后序遍历**的方式完成结点的遍历；
3、 手写三种遍历，与代码进行比较；
前序遍历：1 2 4 5 3 6 7
中序遍历：4 2 5 1 6 3 7
后序遍历：4 5 2 6 7 3 1
1.5 代码实现
1.5.1 ArrayBinaryTree 二叉树类
package com.feng.ch12_tree.t2_arraybinarytree;
/*
* 编写一个 ArrayBinaryTree， 实现顺序存储二叉树遍历
* 数组 和 二叉树的 对应规律
* */
class ArrayBinaryTree {
private int[] array; // 存储数据结点的数组
public ArrayBinaryTree(int[] array) {
this.array = array;
}
// 重载perOrder（）
public void preOrder() {
this.preOrder(0);
}
public void infixOrder() {
this.infixOrder(0);
}
public void postOrder() {
this.postOrder(0);
}
/*
* 编写一个方法，完成顺序储存二叉树的一个前序遍历
* @param index 数组的下标
* */
public void preOrder(int index) {
// 如果数组为空，或者 array。length = 0
if (array == null || array.length == 0) {
System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
}
// 输出当前这个元素
System.out.print(array[index] + " ");
// 向左递归遍历
if ((index * 2 + 1) < array.length) {
preOrder(2 * index + 1);
}
// 向右递归遍历
if ((index * 2 + 2) < array.length) {
preOrder(2 * index + 2);
}
}
/*
* 方法，完成顺序储存二叉树的一个中序遍历
* @param index 数组的下标
* */
public void infixOrder(int index){
// 如果数组为空，或者 array。length = 0
if (array == null || array.length == 0) {
System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
}
// 向左递归遍历
if ((index * 2 + 1) < array.length) {
infixOrder(2 * index + 1);
}
// 输出当前这个元素
System.out.print(array[index] + " ");
// 向右递归遍历
if ((index * 2 + 2) < array.length) {
infixOrder(2 * index + 2);
}
}
/*
* 方法，完成顺序储存二叉树的一个后序遍历
* @param index 数组的下标
* */
public void postOrder(int index){
// 如果数组为空，或者 array。length = 0
if (array == null || array.length == 0) {
System.out.println("数组为空，不能按照二叉树的前序遍历");
}
// 向左递归遍历
if ((index * 2 + 1) < array.length) {
postOrder(2 * index + 1);
}
// 向右递归遍历
if ((index * 2 + 2) < array.length) {
postOrder(2 * index + 2);
}
// 输出当前这个元素
System.out.print(array[index] + " ");
}
}
1.5.2 T2_ArrayBinaryTreeMain 测试类
package com.feng.ch12_tree.t2_arraybinarytree;
/*
* 顺序储存二叉树
*
* 从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组
* 对应的规律为：
* 1、第n个元素的左子节点为 2 * n + 1
* 2、第n个元素的右子节点为 2 * n + 2
* 3、第n个元素的父节点为 (n-1) / 2
* 4、注意 上面的 n : 表示二叉树中的第几个元素(按0开始编号）比如 根节点 的索引 n = 0;
* 也是对应数组里的元素，下标正好也是从0开始的。
*
* 这里将使用数组 来 储存二叉树，进行前序、后序、中序的排列。
*
* 扩展、思考：
* 二叉树转化为数组储存，其实就是二叉树的 层次遍历 后的结果。
* */
public class T2_ArrayBinaryTreeMain {
public static void main(String[] args) {
// int array[] = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 15};
int array[] = {
1, 3, 4, 6, 8, 9, 15};
ArrayBinaryTree arrayBinaryTree = new ArrayBinaryTree(array);
System.out.println("前序序遍历：");
arrayBinaryTree.preOrder(); // 1 3 6 8 4 9 15
System.out.println();
System.out.println("中序遍历：");
arrayBinaryTree.infixOrder(); // 6 3 8 1 9 4 15
System.out.println();
System.out.println("后序遍历：");
arrayBinaryTree.postOrder(); // 6 8 3 9 15 4 1
}
}
1.5.3 测试结果
1.6 ** 实际应用 **
八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树， 关于堆排序，我们放在<<树结构实际应用>> 章节讲解。
二、线索化二叉树（学的不太好，没深入）
2.1 先看一个问题
将数列{1, 3, 6, 8, 10, 14 } 构建成一颗二叉树. n+1=7， 7个空指针域
问题分析:
1、 当我们对上面的二叉树进行中序遍历时，数列为{8,3,10,1,14,6}；
2、 但是6,8,10,14这几个节点的左右指针，并没有完全的利用上.；
3、 如果我们希望充分的利用各个节点的左右指针，让各个节点可以指向自己的前后节点,怎么办?；
4、 解决方案-线索二叉树；
2.1 线索二叉树基本介绍
线索二叉树基本介绍
1、 n个结点的二叉链表中含有n+1【公式2n-(n-1)=n+1】个空指针域利用二叉链表中的空指针域，存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）；
2、 这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(ThreadedBinaryTree)根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种；
3、 一个结点的前一个结点，称为**前驱结点；
4、 一个结点的后一个结点，称为后继结点**；
2.2 案例
应用案例说明：将下面的二叉树，进行中序线索二叉树。中序遍历的数列为 {8, 3, 10, 1, 14, 6}
思路分析：中序遍历的结果：{8, 3, 10, 1, 14, 6}
说明: 当线索化二叉树后，Node节点的 属性 left 和 right ，有如下情况:
1、 left指向的是左子树，也可能是指向的前驱节点.比如①节点left指向的左子树,而⑩节点的left指向的就是**前驱节点.；
2、 right指向的是右子树，也可能是指向后继节点，比如①节点right指向的是右子树，而⑩节点的right指向的是后继节点.**；
2.3 代码实现
2.3.1 HeroNode 结点类
package com.feng.ch12_tree.t3_threadedbinarytree;
/*
* 创建 HeroNode 结点
* */
class HeroNode {
private int no;
private String name;
private HeroNode left;
private HeroNode right;
/*
* 说明
* 1. 如果leftType == 0 表示指向的是左子树, 如果 1 则表示指向前驱结点
* 2. 如果rightType == 0 表示指向是右子树, 如果 1表示指向后继结点
* */
private int leftType;
private int rightType;
public HeroNode(int no, String name) {
this.no = no;
this.name = name;
}
@Override
public String toString() {
return "HeroNode{" +
"no=" + no +
", name='" + name + '\'' +
'}';
}
public int getLeftType() {
return leftType;
}
public void setLeftType(int leftType) {
this.leftType = leftType;
}
public int getRightType() {
return rightType;
}
public void setRightType(int rightType) {
this.rightType = rightType;
}
public int getNo() {
return no;
}
public void setNo(int no) {
this.no = no;
}
public String getName() {
return name;
}
public void setName(String name) {
this.name = name;
}
public HeroNode getLeft() {
return left;
}
public void setLeft(HeroNode left) {
this.left = left;
}
public HeroNode getRight() {
return right;
}
public void setRight(HeroNode right) {
this.right = right;
}
}
2.3.2 ThreadedBinaryTree 线索化二叉树
package com.feng.ch12_tree.t3_threadedbinarytree;
/*
* 定义 ThreadedBinaryTree 实现了线索化功能的二叉树
* */
class ThreadedBinaryTree {
private HeroNode root;
// 为了实现线索化，需要创建要给指向当前结点的前驱结点的指针
// 在递归进行线索化时，pre 总是要保留前一个结点
private HeroNode pre = null;
public void setRoot(HeroNode root) {
this.root = root;
}
// 重载 threadedNodes
public void threadedNodes() {
this.threadedNodes(root);
}
/*
* 编写对二叉树 进行中序线索化的方法
*
* @param node 就是当前需要线索化的结点
* */
public void threadedNodes(HeroNode node) {
// node == null。不能线索化
if (node == null) {
return;
}
// (1) 先线索化左子树
threadedNodes(node.getLeft());
// (2) 再线索化当前结点
// 2.1 先处理当前结点的前驱结点
// 以8结点来理解: 8结点的.left = null , 8结点的.leftType = 1
if (node.getLeft() == null) {
// 让当前结点的左指针指向前驱结点
node.setLeft(pre);
// 修改当前结点的左指针的类型，指向前驱结点
node.setLeftType(1);
}
// 2.2 处理后继节点
if (pre != null && pre.getRight() == null) {
// 前驱结点的右指针指向当前结点
pre.setRight(node);
// 修改前驱结点的右指针类型
pre.setRightType(1);
}
// !!! 每处理一个结点后，让当前结点是下一个结点的前驱结点
pre = node;
// (3) 先线索化右子树
threadedNodes(node.getRight());
}
/*
* 中序遍历 线索化二叉树的方法
* */
public void threadedInfixList() {
// 定义一个变量，储存当前遍历的节点，从root开始
HeroNode node = root;
if (root == null) {
System.out.println("链表为空，无法遍历");
}
while (node != null) {
// 循环的找到 leftType == 1 的结点，第一个找到就是 8 结点
// 后面随着遍历而变化，因为当 leftType== 1 时。说明该结点是按照线索化
// 处理后的有效节点
while (node.getLeftType() == 0) {
node = node.getLeft();
}
// 打印当前这个结点
System.out.println(node);
// 如果当前结点的右指针指向的是后继结点，就一直输出
while (node.getRightType() == 1) {
// 获取到当前结点的后继结点
node = node.getRight();
System.out.println(node);
}
// 替换这个遍历的节点
node = node.getRight();
}
}
/*
* 前序遍历 线索化二叉树的方法
* */
public void threadedPreList() {
// 定义一个变量，储存当前遍历的节点，从root开始
HeroNode node = root;
if (root == null) {
System.out.println("链表为空，无法遍历");
}
while (node != null) {
// 打印当前这个结点
System.out.println(node);
// 循环的找到 leftType == 1 的结点，第一个找到就是 8 结点
// 后面随着遍历而变化，因为当 leftType == 1 时。说明该结点是按照线索化
// 处理后的有效节点
while (node.getLeftType() == 0) {
node = node.getLeft();
System.out.println(node);
}
// 如果当前结点的右指针指向的是后继结点，就一直输出
while (node.getRightType() == 1) {
// 获取到当前结点的后继结点
// System.out.println(node);
node = node.getRight();
}
// 替换这个遍历的节点
node = node.getRight();
}
}
/*
* 后序遍历 线索化二叉树的方法
* */
public void threadedPostList() {
// 定义一个变量，储存当前遍历的节点，从root开始
HeroNode node = root;
if (root == null) {
System.out.println("链表为空，无法遍历");
}
while (node != null) {
// 循环的找到 leftType == 1 的结点，第一个找到就是 8 结点
// 后面随着遍历而变化，因为当 leftType == 1 时。说明该结点是按照线索化
// 处理后的有效节点
while (node.getLeftType() == 0) {
node = node.getLeft();
}
// 如果当前结点的右指针指向的是后继结点，就一直输出
while (node.getRightType() == 1) {
// 获取到当前结点的后继结点
System.out.println(node);
node = node.getRight();
}
// 打印当前这个结点
System.out.println(node);
// 替换这个遍历的节点
node = node.getRight();
}
}
}
2.3.3 T3_ThreadedBinaryTreeMain 测试类
package com.feng.ch12_tree.t3_threadedbinarytree;
/*
* 线索二叉树
*
* 1、n个结点的二叉链表中含有n+1 【公式 2n-(n-1)=n+1】 个空指针域。利用二叉链表中的空指针域，
* 存放指向该结点在某种遍历次序下的前驱和后继结点的指针（这种附加的指针称为"线索"）
* 2、这种加上了线索的二叉链表称为线索链表，相应的二叉树称为线索二叉树(Threaded BinaryTree)。
* 根据线索性质的不同，线索二叉树可分为前序线索二叉树、中序线索二叉树和后序线索二叉树三种
* 3、一个结点的前一个（左子）结点，称为前驱结点；一个结点的后一个（右子）结点，称为后继结点
*
* 一旦线索化后，原来的遍历方式不能使用，从新编写 遍历方法，无需使用递归
*
* */
public class T3_ThreadedBinaryTreeMain {
public static void main(String[] args) {
// 测试 中序线索二叉树的功能
HeroNode root = new HeroNode(1, "tom");
HeroNode node02 = new HeroNode(3, "jack");
HeroNode node03 = new HeroNode(6, "smith");
HeroNode node04 = new HeroNode(8, "mary");
HeroNode node05 = new HeroNode(10, "king");
HeroNode node06 = new HeroNode(14, "dim");
// 二叉树，后面我们要递归创建，现在简单处理，使用手动创建
root.setLeft(node02);
root.setRight(node03);
node02.setLeft(node04);
node02.setRight(node05);
node03.setLeft(node06);
// 测试线索化
ThreadedBinaryTree tree = new ThreadedBinaryTree();
tree.setRoot(root);
tree.threadedNodes();
// 测试 ： 以10号为结点
HeroNode leftNode05 = node05.getLeft();
HeroNode rightNode05 = node05.getRight();
System.out.println("10号结点的前驱结点是=" + leftNode05);
System.out.println("10号结点的后继结点是=" + rightNode05);
/*
* 测试遍历
* 这里的遍历 不能使用 T1_BinaryTreeMain.java 类中遍历方法了。为什么的话 去看代码即可。重新写
* */
System.out.println("使用线索化的方法 中序遍历 线索化二叉树 ");
tree.threadedInfixList(); //8, 3, 10, 1, 14, 6
System.out.println();
System.out.println("使用线索化的方法 前序遍历 线索化二叉树 ");
tree.threadedPreList(); //1 3 8 10 6 14
System.out.println();
/*
* 这里不对 有问题。
* */
System.out.println("使用线索化的方法 后序遍历 线索化二叉树 ");
tree.threadedPostList(); //8 10 3 14 6 1
System.out.println();
}
}
2.3.4 测试结果
后序线索化有点问题。。。。