数据结构与算法 - 基础：哈希表(散列表)

哈希表的概念

哈希表（Hash Table）是一种特殊的数据结构，它最大的特点就是可以快速实现查找、插入和删除。

我们知道，数组的最大特点就是：寻址容易，插入和删除困难；而链表正好相反，寻址困难，而插入和删除操作容易。那么如果能够结合两者的优点，做出一种寻址、插入和删除操作同样快速容易的数据结构，那该有多好。这就是哈希表创建的基本思想，而实际上哈希表也实现了这样的一个“夙愿”，哈希表就是这样一个集查找、插入和删除操作于一身的数据结构。

哈希表（Hash Table）：也叫散列表，是根据关键码值（key-value）而直接进行访问的数据结构，也就是我们常用到的map。

哈希函数：也称为是散列函数，是Hash表的映射函数，它可以把任意长度的输入变换成固定长度的输出，该输出就是哈希值。哈希函数能使对一个数据序列的访问过程变得更加迅速有效，通过哈希函数，数据元素能够被很快的进行定位。

哈希表和哈希函数的标准定义：若关键字为k，则其值存放在h(k)的存储位置上。由此，不需比较便可直接取得所查记录。称这个对应关系f为哈希函数，按这个思想建立的表为哈希表。

设计出一个简单、均匀、存储利用率高的散列函数是散列技术中最关键的问题。
但是，一般散列函数都面临着冲突的问题。两个不同的关键字，由于散列函数值相同，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。

设m和n分别表示表长和表中填入的结点数，则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大，表越满，冲突的机会也越大。通常取α≤1。

哈希表的实现方法

哈希表的实现就是映射函数构造，看某个元素具体属于哪一个类别。如何构造我们要考虑两个问题：

n个数据原仅占用n个地址，虽然散列查找是以空间换时间，但仍希望散列的地址空间尽量小。
无论用什么方法存储，目的都是尽量均匀地存放元素，以避免冲突。

所以，我哈希表的映射函数构造方法也有很多，常见的有：直接定址法、除留余数法、乘余取整法、数字分析法、平方取中法、折叠法、随机数法等。

1、直接定位法

Hash(key) = a·key + b (a、b为常数)

优点：以关键码key的某个线性函数值为哈希地址，不会产生冲突.

缺点：要占用连续地址空间，空间效率低。

**例：**关键码集合为{100，300，500，700，800，900}，选取哈希函数为Hash(key)=key/100，则存储结构（哈希表）如下：

2、除留余数法

Hash(key) = key mod p (p是一个整数)

特点：以关键码除以p的余数作为哈希地址。

关键：如何选取合适的p？

技巧：若设计的哈希表长为m，则一般取p≤m且为质数（也可以是不包含小于20质因子的合数）。

3、乘余取整法；

Hash(key) = [B*( A*key mod 1 ) ]下取整 (A、B均为常数，且0<A<1，B为整数)

**特点：**以关键码key乘以A，取其小数部分，然后再放大B倍并取整，作为哈希地址。

**例：**欲以学号最后两位作为地址，则哈希函数应为： H(k)=100*(0.01*k % 1 ) 其实也可以用法2实现： H(k)=k % 100

4、数字分析法

**特点：**某关键字的某几位组合成哈希地址。所选的位应当是：各种符号在该位上出现的频率大致相同。

例：有一组（例如80个）关键码，其样式如下：

5、平方取中法

**特点：**对关键码平方后，按哈希表大小，取中间的若干位作为哈希地址。

理由：因为中间几位与数据的每一位都相关。

例：2589的平方值为6702921，可以取中间的029为地址。

6、折叠法

**特点：**将关键码自左到右分成位数相等的几部分（最后一部分位数可以短些），然后将这几部分叠加求和，并按哈希表表长，取后几位作为哈希地址。

适用于：每一位上各符号出现概率大致相同的情况。

法1：移位法 ── 将各部分的最后一位对齐相加。

法2：间界叠加法──从一端向另一端沿分割界来回折叠后，最后一位对齐相加。

**例：**元素42751896, 用法1： 427＋518＋96=1041 用法2： 427 518 96—> 724+518+69 =1311

哈希表定址与解决冲突

Hash表解决冲突的方法主要有以下几种：

开放定址法（开地址法）、链地址法（拉链法）、再哈希法（双哈希函数法）、建立一个公共溢出区，而最常用的就是开发定址法和链地址法。

1、开放定址法

如果两个数据元素的哈希值相同，则在哈希表中为后插入的数据元素另外选择一个表项。当程序查找哈希表时，如果没有在第一个对应的哈希表项中找到符合查找要求的数据元素，程序就会继续往后查找，直到找到一个符合查找要求的数据元素，或者遇到一个空的表项。线性探测带来的最大问题就是冲突的堆积，你把别人预定的坑占了，别人也就要像你一样去找坑。改进的办法有二次方探测法和随机数探测法。开放地址法包括线性探测、二次探测以及双重散列等方法。

**设计思路：**有冲突时就去寻找下一个空的哈希地址，只要哈希表足够大，空的哈希地址总能找到，并将数据元素存入。

**含义：**一旦冲突，就找附近（下一个）空地址存入。

具体实现：

线性探测法

Hi=(Hash(key)+di) mod m ( 1≤i < m ) 其中： Hash(key)为哈希函数 m为哈希表长度 di 为增量序列 1，2，…m-1，且di=i

例：

关键码集为 {47，7，29，11，16，92，22，8，3}，

设：哈希表表长为m=11；哈希函数为Hash(key)=key mod 11；拟用线性探测法处理冲突。建哈希表如下：

解释：

①47、7（以及11、16、92）均是由哈希函数得到的没有冲突的哈希地址；

②Hash(29)=7，哈希地址有冲突，需寻找下一个空的哈希地址：由H1=(Hash(29)+1) mod 11=8，哈希地址8为空，因此将29存入。

③另外，22、8、3同样在哈希地址上有冲突，也是由H1找到空的哈希地址的。其中3 还连续移动了两次（二次聚集）

int FindHash(SeqList* pL, KeyType K) 
{
    int c=0;  int p=Hash(K); /*求得哈希地址*/
    while(pL->data[p].key!=NULL_KEY && K!=pL->data[p].key && ++c<MAXNUM)    p=Hash(K+c);
    if(K==pL->data[p].key) {
        printf("\n成功找到 %d", K);
        return p; /*查找成功,p返回待查数据元素下标*/
    }
    else if(pL->data[p].key==NULL_KEY) {
       printf("\n无法找到 %d , 在位置 %d 插入。", K,p);
       pL->data[p].key = K;   pL->n++;
       return p;
    } else {
       printf("\n无法找到 %d , 表已满。", K);
       return -1;
    }
}

讨论：

线性探测法的优点：只要哈希表未被填满，保证能找到一个空地址单元存放有冲突的元素；

线性探测法的缺点：可能使第i个哈希地址的同义词存入第i+1个哈希地址，这样本应存入第i+1个哈希地址的元素变成了第i+2个哈希地址的同义词，……，因此，可能出现很多元素在相邻的哈希地址上“堆积”起来，大大降低了查找效率。

解决方案：可采用二次探测法或伪随机探测法，以改善“堆积”问题。

2) 二次探测法

仍举上例，改用二次探测法处理冲突，建表如下：

Hi=(Hash(key)±di) mod m 其中：Hash(key)为哈希函数 m为哈希表长度，m要求是某个4k+3的质数； di为增量序列 12，-12，22，-22，…，q2

注：只有3这个关键码的冲突处理与上例不同， Hash(3)=3，哈希地址上冲突，由 H1=(Hash(3)+12) mod 11=4，仍然冲突； H2=(Hash(3)-12) mod 11=2，找到空的哈希地址，存入。

2**、链地址法(拉链法）**

基本思想：将具有相同哈希地址的记录链成一个单链表，m个哈希地址就设m个单链表，然后用一个数组将m个单链表的表头指针存储起来，形成一个动态的结构。

**注：**有冲突的元素可以插在表尾,也可以插在表头

例：设{ 47, 7, 29, 11, 16, 92, 22, 8, 3, 50, 37, 89 }的哈希函数为： Hash(key)=key mod 11，用拉链法处理冲突，则建表如下图所示。

3、再哈希法（双哈希函数法）

Hi=RHi(key) i=1, 2, …，k

RHi均是不同的哈希函数，当产生冲突时就计算另一个哈希函数，直到冲突不再发生。

**优点：**不易产生聚集；

**缺点：**增加了计算时间。

4. 建立一个公共溢出区

思路：除设立哈希基本表外，另设立一个溢出向量表。所有关键字和基本表中关键字为同义词的记录，不管它们由哈希函数得到的地址是什么，一旦发生冲突，都填入溢出表。

这个方法其实就更加好理解，你不是冲突吗? 好吧，凡是冲突的都跟我走，我给你们这些冲突找个地儿待着。这就如同孤儿院收留所有无家可归的孩子样，我们为所有冲突的关键字建立了一个公共的溢出区来存放.

哈希表的查找及分析

哈希查找过程

哈希表的主要目的是用于快速查找，且插入和删除操作都要用到查找。由于散列表的特殊组织形式，其查找有特殊的方法。设散列为HT[0…m-1]，散列函数为H(key)，解决冲突的方法为R(x, i) ，则在散列表上查找定值为K的记录的过程如图所示。

查找效率分析

明确：散列函数没有“万能”通式，要根据元素集合的特性而分别构造。

讨论：哈希查找的速度是否为真正的O（1）？

不是。由于冲突的产生，使得哈希表的查找过程仍然要进行比较，仍然要以平均查找长度ASL来衡量。一般地，ASL依赖于哈希表的装填因子,它标志着哈希表的装满程度。

讨论：

1）散列存储的查找效率到底是多少？

答：ASL与装填因子α有关！既不是严格的O(1)，也不是O(n)

2）“冲突”是不是特别讨厌？

答：不一定！正因为有冲突，使得文件加密后无法破译（不可逆，是单向散列函数，可用于数字签名）。利用了哈希表性质：源文件稍稍改动，会导致哈希表变动很大。

练习:

给定关键字序列11，78，10，1，3，2，4，21，试分别用顺序查找、二分查找、二叉排序树查找、散列查找(用线性探查法和拉链法)来实现查找，试画出它们的对应存储形式(顺序查找的顺序表，二分查找的判定树，二叉排序树查找的二叉排序树及两种散列查找的散列表)，并求出每一种查找的成功平均查找长度。散列函数H(k)=k%11。

1) 顺序查找的成功平均查找长度为： ASL=(1+2+3+4+5+6+7+8)/8=4.5；

2) 二分查找的判定树（中序序列为从小到大排列的有序序列）如图所示