拓扑排序
无环图：一个无环的有向图，简称DAG图。
AOV网：在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，称之为AOV网。
拓扑序列：设G(V, E)是一个具有n个顶点的有向图，V中的顶点序列V1，V2…Vn满足若从顶点Vi到Vj有一条路径，则在顶点序列中顶点Vi必在顶点Vj之前，则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。
拓扑排序：对一个有向图构造拓扑序列的过程。
拓扑排序算法
方法和步骤如下：
1、 从AOV网中选择一个没有前驱的顶点（该顶点的入度为0），并且输出；
2、 从网中删去该顶点，并且删除从该顶点发出的全部有向边；
3、 重复上述两步，直到剩余网中不再存在没有前驱顶点为止；
可以用邻接表的数据结构表示
表示为邻接表
部分代码实现：
//边表结点声明
typedef struct EdgeNode
{
int adjvex;
struct EdgeNode *next;
}EdgeNode;
//顶点表结点声明
typedef struct VertexNode
{
int in;
int data;
EdgeNode *firstedge;
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges;
}graphAdjList,*GraphAdjList;
//拓扑排序算法
//若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回OK，否则返回ERROR
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{
EdgeNode *e;
int i ,k, gettop;
int top = 0; //栈指针下标索引
int count = 0; //用于统计输出顶点的个数
int *stack; //存储入度为0的顶点
stack = (int *)malloc(GL->numVertexes *sizeof(int));\
for( i =0; i< GL->numVertexes ;i ++)
{
if( 0 == GL->adjList[i].in)
{
stack[++top] = i; //将度为0的顶点下标入栈
}
}
while( 0 != top )
{
gettop = stack[top--];
printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);
count ++;
for( e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e= e->next)
{
k = e->adjvex;
//下面的if条件是要点
//将k号顶点邻接点的入度-，因为前驱已经消除
if(!( -- GL->adjList[k].in))
{
stack[++top] = k;
}
}
}
if(count <GL->numVertexes) // 存在环
{
return ERROR;
}
else
{
return OK;
}
}
关键路径
AOE网：在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称为AOE网（Activity On Edge Network).
始点或源点：没有入边的顶点。
终点或汇点：没有出边的顶点。
二者的比较（AOE和AOV）
表示完成的流程，全部流程
（红色部分是一个关键路径），有一些关键活动。
关键路径算法
一些关键词：
- etv（Earliest Time Of Vertex）：时间最早发生时间，就是顶点的最早发生时间
- ltv（Latest Time of Vertex）：时间最晚发生时间，就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，如果超出此时间将会延误整个工期。
- ete（Earliest Time of Edge）：活动的最早开工时间，就是弧的最早发生时间
- lte（Latest Time of Edge）：活动的最晚发生时间，就是不推迟工期的最晚开工时间
当etv = ltv时，事件的连接就是关键路径。
实现代码如下：
//边表结点声明
typedef struct EdgeNode
{
int adjvex;
struct EdgeNode *next;
}EdgeNode;
//顶点表结点声明
typedef struct VertexNode
{
int in;
int data;
EdgeNode *firstedge;
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
typedef struct
{
AdjList adjList;
int numVertexes,numEdges;
}graphAdjList,*GraphAdjList;
int *etv,*ltv;
int *stack2;
int top2;
//拓扑排序算法
//若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回OK，否则返回ERROR
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{
EdgeNode *e;
int i ,k, gettop;
int top = 0; //栈指针下标索引
int count = 0; //用于统计输出顶点的个数
int *stack; //存储入度为0的顶点
stack = (int *)malloc(GL->numVertexes *sizeof(int));
for( i =0; i< GL->numVertexes ;i ++)
{
if( 0 == GL->adjList[i].in)
{
stack[++top] = i; //将度为0的顶点下标入栈
}
}
//初始化etv为0
top2 = 0;
etv = (int * )malloc(GL->numVertexes *sizeof(int));
for( i =0; i< GL->numVertexes ;i ++)
{
etv[i] = 0;
}
stack2 = (int * )malloc(GL->numVertexes *sizeof(int));
while( 0 != top )
{
gettop = stack[top--]; //出栈
//printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);
count ++;
stack2[top++] = gettop; //保存拓扑序列顺序
for( e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e= e->next)
{
k = e->adjvex;
//下面的if条件是要点
//将k号顶点邻接点的入度-，因为前驱已经消除
if(!( -- GL->adjList[k].in))
{
stack[++top] = k;
}
if(( etv[gettop] +e->weight) > etv[k])
{
etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
}
}
}
if(count <GL->numVertexes) // 存在环
{
return ERROR;
}
else
{
return OK;
}
}
//求关键路径，GL为有向图，输出GL的各项关键活动
void CriticalPath(GraphAdiList GL)
{
EdgeNode *e;
int i,gettop, k ,j;
int ete,lte;
TopologicalSort(GL);
//初始化ltv为汇点的时间
ltv = (int * )malloc(GL->numVertexes *sizeof(int));
for( i =0; i< GL->numVertexes ;i ++)
{
ltv[i] = etv[GL->numVertexes - 1];
}
//从汇点倒过来逐个计算
while( 0!= top2)
{
gettop = stack2[top2--];
for( e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e= e->next)
{
k = e->adjvex;
if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
{
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}
}
//通过etv和ltv求ete和lte
for(j = 0; j < GL->numVertexes ;j ++)
{
for( e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e= e->next)
{
k = e->adjvex;
ete = etv[j];
lte = ltv[k] - e->weight;
if(ete==lte)
printf("<v%d, v%d> length: %d, ",GL->adjList[j].data, GL->adhList[k].data, e->weight);
}
}
}