421. Maximum XOR of Two Numbers in an Array 数组中两个数的最大异或值

题目地址:https://leetcode.com/problems/maximum-xor-of-two-numbers-in-an-array/description/

题目描述

Given a non-empty array of numbers, a0, a1, a2, … , an-1, where 0 ≤ ai < 2^31.

Find the maximum result of ai XOR aj, where 0 ≤ i, j < n.

Could you do this in O(n) runtime?

Example:

Input: [3, 10, 5, 25, 2, 8]

Output: 28

Explanation: The maximum result is 5 ^ 25 = 28.

解题方法

依次遍历每一位

这个题不是很会,不过学到了异或操作的一个重要性质:a^b = c, 则有 a^c = b,且 b^c = a;

因此如果相求最大的c,可以把c设成1,看b存在不存在给定的数组当中。

下面的内容来自:https://kingsfish.github.io/2017/12/15/Leetcode-421-Maximum-XOR-of-Two-Numbers-in-an-Array/ 这个文章很好,讲的很详细大体能明白。

我们还需要用上一个异或的特性,假设a和b产生了最终的答案max,即a ^ b = x,那么根据异或的特性,a ^ x = b。同理,a和b的最高位(前n位)也有相同的性质。 先以最高位为例子,我们可以把所有的数字的最高位放到一个HashSet里面,然后使用1与set里面的所有数字进行异或,如果得出的结果仍然在set里面,那么最终结果的最高位必然为1,否则为0。也即,先假定结果为1,然后与set中所有数字异或,假定a与1异或得到结果b(a ^ 1 = b),而b仍然在set里面,那么说明set中有两个数字异或能得到1(a ^ b = 1)。否则,set中没有两个数字能够异或得到1,那么最终结果的最高位为1的假设失败,说明最终结果的最高位为0。以此类推可以得到第二位、第三位。。。的数字。 再做一下推广,我们将所有数字的前N位放到一个HashSet里面,然后使用之前N-1位得到的最大值前缀prefix与set里面的所有数字进行异或,如果得出的结果仍然在set中,那么第N位必然为1,否则为0。 举个例子,给定数组[14, 11, 7, 2],二进制表示分别为[1110, 1011, 0111, 0010]。题目说了,数字最长不会超过32位,所以应从i = 31开始,但是所有数字中最多位4位数,简单起见,我直接从最高位i=3开始

1. i = 3, set = {1000, 0000} => max = 1000
2. i = 2, set = {1100, 1000, 0100, 0000} => max = 1100
3. i = 1, set = {1110, 1010, 0110, 0010} => max = 1100
4. i = 0, set = {1110, 1011, 0111, 0010} => max = 1100

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Python代码:

class Solution(object):
    def findMaximumXOR(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        ans = mask = 0
        for x in range(32)[::-1]:
            mask += 1 << x
            prefixSet = set([n & mask for n in nums])
            temp = ans | 1 << x
            for prefix in prefixSet:
                if temp ^ prefix in prefixSet:
                    ans = temp
                    break
        return ans

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C++代码:

class Solution {
public:
    int findMaximumXOR(vector<int>& nums) {
        int res = 0;
        int mask = 0;
        unordered_set<int> s;
        for (int i = 31; i >= 0; i--) {
            s.clear();
            mask |= 1 << i;
            for (int num : nums) {
                s.insert(num & mask);
            }
            int tmp = res | (1 << i);
            for (int pre : s) {
                if (s.count(tmp ^ pre)) {
                    res = tmp;
                    break;
                }
            }
        }
        return res;
    }
};

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前缀树

使用Trie也能做,但是我还没有想明白。。

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