题目地址：https://leetcode.com/problems/unique-binary-search-trees/description/
题目描述
Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?
Forexample,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.
1 3 3 2 1
\ / / / \ \
3 2 1 1 3 2
/ / \ \
2 1 2 3
题目大意
给了一个数字n，问n个节点的二叉树有多少种？
解题方法
记忆化递归
思路：从1...n中找出一个i作为根节点，比i小的数1...i-1作为左子树，比i大的数i+1...n作为右子树，左子树的排列和右子树的排列的乘积是此时的数目。
因为直接递归会超时，所以加上了记忆化搜索的方法，这样就快的多了。
class Solution(object):
def __init__(self):
self.dp = dict()
def numTrees(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
if n in self.dp:
return self.dp[n]
if n == 0 or n == 1:
return 1
ans = 0
for i in range(1, n + 1):
ans += self.numTrees(i - 1) * self.numTrees(n - i)
self.dp[n] = ans
return ans
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
使用C++代码和上面类似，同样使用记忆化搜索能够完成。只不过，这里需要注意的一点是，左边的孩子数目是i的时候，右边的孩子数目因该是n - 1 - i，因为要去掉根节点。
代码如下：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
if (n == 0) return 1;
if (m_.count(n)) return m_[n];
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
int left = numTrees(i);
int right = numTrees(n - 1 - i);
res += left * right;
}
return m_[n] = res;
}
private:
unordered_map<int, int> m_;
};
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动态规划
同样是上面的思路，如果使用动态规划去做，可以设dp[i]是i个节点的二叉树有多少种组合。那么，很明显和上面解法一样的，dp[i]等于左子树有0个节点，左子树有1个节点，左子树有2个节点……等等情况下的和。对于左右子树的组合方式是独立事件，所以总的组合数是左右子树相乘的关系。
完整的推导在下面，参照了：http://blog.csdn.net/u012501459/article/details/46622501
给定一个数n，求1到n这些数可以构成多少棵二叉树。
给定一个序列1.....n，为了构造所有二叉树，我们可以使用1......n中的每一个数i作为根节点，自然1......(i-1)必然位于树的左子树中，(i+1).....n位于树的右子树中。然后可以递归来构建左右子树，由于根节点是唯一的，所以可以保证构建的二叉树都是唯一的。
使用两个状态来记录：
G(n)：长度为n的序列的所有唯一的二叉树。
F(i,n)，1<=i<=n：以i作为根节点的二叉树的数量。
G(n)就是我们要求解的答案，G(n)可以由F(i,n)计算而来。
G(n)=F(1,n)+F(2,n)+...+F(n,n) (1)
G(0)=1,G(1)=1
对于给定的一个序列1.....n，我们取i作为它的根节点，那么以i作为根节点的二叉树的数量F(i)可以由下面的公式计算而来：
F(i,n)=G(i-1)*G(n-i) 1<=i<=n (2)
综合公式（1）和公式（2），可以看出：
G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + … + G(n-1) * G(0)
这就是上面这个问题的答案。
答案：
class Solution(object):
def numTrees(self, n):
"""
:type n: int
:rtype: int
"""
dp = [1, 1]
for i in xrange(2, n + 1):
count = 0
for j in xrange(i):
count += dp[j] * dp[i - j - 1]
dp.append(count)
return dp.pop()
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上面的做法的C++代码如下：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
// how many trees if the total tree has dp[i] nodes.
vector<int> dp(n + 1);
dp[0] = dp[1] = 1;
for (int i = 2; i < n + 1; i ++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
dp[i] += dp[j] * dp[i - 1 - j];
}
}
return dp[n];
}
};
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卡特兰数
卡塔兰数的一般项公式为
令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)这是n阶递归关系;
该递推关系的解为：
h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)
代码如下：
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
// how many trees if the total tree has dp[i] nodes.
long long res = 1;
for (int i = n + 1; i <= 2 * n; i++) {
res = res * i / (i - n);
}
return res / (n + 1);
}
};
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
卡特兰数的前20项是固定的，也就可以直接返回对应的数字即可。
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
// how many trees if the total tree has dp[i] nodes.
vector<int> dp = {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190};
return dp[n];
}
};
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