IndexTree的作用
用于快速查询区间累加和
如果不用IndexTree，一般的做法是生成一个前缀和数组
比如原数组arr = [3, -2, 1, 5, 0]
那么前缀和数组help = [3, 1, 2, 7, 7]
如果此时要查3~4的累加和，只需help[4] - help[2]
但是这样有个问题，如果arr数组的某个值修改了的话，那么help数组的一大片区域都要跟着变，比如现在修改arr数组 arr[2] = 3，那么help数组下标2后面的都要跟着改变。这里的arr和help两个数组长度都是5，如果长度很长的话，效率就会很差。
IndexTree就是支持快速更新，快速查询区间和的结构。
这个功能线段树也可以实现，IndexTree只支持单点更新，不能像线段树那样进行范围更新。
IndexTree的实现细节
IndexTree以数组实现，下标从1开始。
假设原数组arr长度13，下标从1~12
那么help数组是这样：
help[1] = arr[1]
help[2] = arr[1…2]
help[3] = arr[3]
help[4] = arr[1…4]
help[5] = arr[5]
help[6] = arr[5…6]
help[7] = arr[7]
help[8] = arr[1…8]
help[9] = arr[9]
help[10] = arr[9…10]
help[11] = arr[11]
help[12] = [9…12]
简单来说就是能凑成一对（长度一样）的就凑成一对，弄到help数组中
help数组一个下标i对应的原数组范围，是这样计算：
i下标的二进制，假设010111000，最右边的1去掉，然后加1，010110001
那么help[i]负责的范围就是 010110001~010111000
利用IndexTree进行前缀和计算：
取该位置的二进制的值a，累加help[a]
然后a的二进制最右侧1去掉，得b，累加help[b]
然后b的二进制最右侧1去掉，得c，累加help[c]
以此类推，直至到0
比如查询arr数组1~i的前缀和（注意0下标是不用的）
假设i的二进制是01001100
那么前缀和就是help[01001100] + help[01001000] + help[01000000]
利用IndexTree进行区间范围计算，就是两个前缀和相减
IndexTree的add操作：
目标位置为a，
那么更新a位置，
然后a加一个自己最右侧的1，得b，更新b位置的值，
然后b加一个自己最右侧的1，得c，更新c位置的值
依次类推，直至越界
IndexTree代码实现
/**
* IndexTree 树状数组，更新和区间范围查询都是O(logN)的数据结构
* 一维IndexTree
*
* 原理：
* 0位置不用，从1位置开始
* 奇数位置只存自己的值
* 偶数位则有讲究
* 2 -> 1~2
* 4 -> 1~4
* 6 -> 5~6
* 8 -> 1~8
* 间隔大的覆盖间隔小的，
* 例如1~4,5~8为2个4的间隔，1~8是1个8的间隔，那么8位置存1~8的值，因为8间隔更大
* 16间隔，32间隔也是如此，在一个位置上凑齐了一个间隔，就存这个间隔间的数的和，凑齐多个间隔去较大的
*
* 存储计算：
* 取该位置的二进制的值a，去掉最右侧1后得b，然后b+1得c，累加c~a的值，就是该位置要存的值
*
* 前缀和查询计算：
* 取该位置的二进制的值a，累加help[a]
* 然后a的二进制最右侧1去掉，得b，累加help[b]
* 然后b的二进制最右侧1去掉，得c，累加help[c]
* 以此类推，直至到0
*
* 区间范围查询：
* 两个前缀和相减
*
* 更新计算：
* 目标位置为a，
* 那么更新a位置，
* 然后a加一个自己最右侧的1，得b，更新b位置的值，
* 然后b加一个自己最右侧的1，得c，更新c位置的值
* 依次类推，直至越界
*/
class IndexTree {
int[] tree;
int N;
public IndexTree(int size) {
this.N = size;
// 0位置不用，所以准备长度加1的长度
this.tree = new int[N + 1];
}
// IndexTree前缀和查询
public int sum(int index) {
int res = 0;
while (index > 0) {
// 直至到0
res += tree[index];
// 进制最右侧1去掉
index -= index & -index;
}
return res;
}
// IndexTree单点增加操作
public void add(int index, int d) {
while (index <= N) {
// 直至越界
tree[index] += d;
// 加一个自己最右侧的1
index += index & -index;
}
}
}
与线段树的区别
线段树改成二维的话，非常的复杂，但是二维的IndexTree，就很好改了。
比如二维的IndexTree，进行一个单独更新，那么哪些行和哪些列受影响呢？
这个范围的计算，其实是和一维IndexTree是一样的，因为二维IndexTree里面就是二维数组 int[][] tree，行和列的范围都是和一维IndexTree一样。
实现二维矩阵更新和区间范围查询都是O(logN)的数据结构
其实就是二维IndexTree
/**
* 实现二维矩阵更新和区间范围查询都是O(logN)的数据结构
* Created by huangjunyi on 2022/11/9.
*/
public class _130二维区域和检索_可变 {
class RangeSumQuery2DMutable {
int[][] tree;
int[][] nums;
int N;
int M;
public RangeSumQuery2DMutable(int[][] matrix) {
this.N = matrix.length;
this.M = matrix[0].length;
tree = new int[this.N + 1][this.M + 1];
nums = new int[this.N][this.M];
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < M; j++) {
update(i, j, matrix[i][j]);
}
}
}
/**
* 二维矩阵前缀累加和
* @param row
* @param col
* @return
*/
private int sum(int row, int col) {
int res = 0;
for (int i = row + 1; i > 0; i -= i & -i) {
for (int j = col + 1; j > 0; j -= j & -j) {
res += tree[i][j];
}
}
return res;
}
/**
* 二维矩阵更新
* @param row
* @param col
* @param val
*/
public void update(int row, int col, int val) {
int add = val - nums[row][col];
nums[row][col] = val;
for (int i = row + 1; i < N; i += i & -i) {
for (int j = col + 1; j < M; j += j & -j) {
tree[i][j] += add;
}
}
}
/**
* 二维矩阵区间范围查询
* @param row1 左上方行数
* @param col1 左上方列数
* @param row2 右下方行数
* @param col2 右下方列数
* @return
*/
public int sumRegion(int row1, int col1, int row2, int col2) {
return sum(row2, col2) + sum(row1 - 1, col1 - 1) - sum(row1 - 1, col2) - sum(row2, col1 - 1);
}
}
}
AC自动机
AC自动机，相当于是在前缀树上玩KMP。
作用： 假设有一个词典dictionary，然后有一篇文章article，在article中匹配看都出现了dictionary中的哪些词。
步骤：
1、 dictionary建成前缀树；
2、 修改前缀树，增加fail指针头节点fail指针指向空；头节点的下层第一级节点fail指针指向头节点；其他节点的fail指针，假设父节点走到当前节点的路为a，看父节点fail指针指向的节点X，是否有相同的路a，有则指向X节点路a下的节点，没有则看X节点的fail指针指向的节点Y，是否有相同的路a…，如果都没有（沿着fail指针遍历到空），那么fail指针指向头节点；
3、 利用这个修改后的前缀树，进行大文章article的遍历匹配，如果匹配失败，沿着fail指针往下走，继续匹配，不会错过答案；
4、 每次在前缀树中往下走了一步，就站在这个节点原地，另外那一follow指针，验证fail指针看一遍，看有没有单词匹配成功可以收集；
fail指针含义：
如果匹配失败了，看dictionary剩下的单词，哪个单词的前缀prefix，和这个匹配失败的单词到匹配失败的字符为止的这一段的后缀suffix，匹配的长度最长的，跳到这个单词继续匹配。这样就不会错过任何可以匹配成功的可能性，也可以跳过绝对不可能匹配成功的部分。
代码：
/**
* AC自动机
* Created by huangjunyi on 2022/9/17.
*/
public class ACAutomation {
private static class Node {
private String end; // 如果这个结点是某个字符串的结尾，则end不为null
private boolean visited; // 访问到end不为null，收集答案后，下次再到这个结点，visited就为true，就不重复收集了
private Node fail; // fail指针
private Node[] nexts; // 路径数组
public Node() {
end = null;
visited = false;
fail = null;
nexts = new Node[26];
}
}
private Node root;
public ACAutomation() {
root = new Node();
}
public void insert(String str) {
//以构建前缀树的方式插入字符串
char[] chars = str.toCharArray();
Node cur = this.root;
for (int i = 0; i < chars.length; i++) {
// 没路就新建，有路就复用
int index = chars[i] - 'a';
if (cur.nexts[index] == null) {
cur.nexts[index] = new Node();
}
cur = cur.nexts[index];
}
//当前节点时该字符串的结尾字符，设置当前节点的end属性为当前字符串
cur.end = str;
}
public void build() {
//以宽度优先遍历的方式为每个节点设置fail指针
Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
queue.add(this.root);
Node cur = null;
Node curFail = null;
while (!queue.isEmpty()) {
//弹出当前节点，为当前节点的每个子结点设置fail指针
cur = queue.poll();
//遍历每个子节点，为它们设置fail指针
for (int i = 0; i < cur.nexts.length; i++) {
Node next = cur.nexts[i];
if (next == null) continue;
//当前父节点的fail指针
curFail = cur.fail;
//如果当前fail指针没有走向i的路，继续找，要么找到，要么一直到null
while (curFail != null && curFail.nexts[i] == null) {
curFail = curFail.fail;
}
//curFail为null，代表没找到，设置子结点的fail指针指向头结点，不为null则表示找到了
if (curFail == null) {
next.fail = this.root;
} else {
// 子节点的fail指针，指向curFail指向节点i路上的节点
next.fail = curFail.nexts[i];
}
queue.add(next);
}
}
}
public List<String> getContainsWords(String content) {
char[] chars = content.toCharArray();
List<String> res = new ArrayList<>();
Node cur = this.root;
for (int i = 0; i < chars.length; i++) {
int path = chars[i] - 'a';
// 没有路，沿着fail指针找路
while (cur.nexts[path] == null && cur != this.root) cur = cur.fail;
//找到路了，cur要往前推进，没有则回到root节点
cur = cur.nexts[path] != null ? cur.nexts[path] : this.root;
//用follow指针遍历从cur开始沿着fail指针走到root的路径，收集答案
Node follow = cur;
while (follow != this.root) {
// 看过了，不再看了
if (follow.visited) break;
if (follow.end != null) {
// 标记看过了
res.add(follow.end);
follow.visited = true;
}
follow = follow.fail;
}
}
return res;
}
public static void main(String[] args) {
ACAutomation acAutomation = new ACAutomation();
acAutomation.insert("abc");
acAutomation.insert("abcd");
acAutomation.insert("bcdx");
acAutomation.build();
List<String> res = acAutomation.getContainsWords("abcdda");
System.out.println(res);
}
}